Основные принципы погрешностей в вычислительной математике
Вычислительная математика часто сталкивается с задачами, в которых важную роль играет оценка погрешности полученных результатов. Погрешность — это разница между истинным значением и численным результатом, полученным в ходе вычислений.
Общая формула погрешности
Погрешность можно записать как сумму абсолютной погрешности и относительной погрешности.
Абсолютная погрешность:
$$ \Delta_x = |x{числ} - x{истинн}| $$
где $x{числ}$ — вычисленное значение, $x{истинн}$ — истинное значение.
Относительная погрешность:
$$ \delta_x = \frac{\Delta_x}{|x_{истинн}|} $$
Пример
Рассмотрим пример вычисления квадратного корня. Пусть истинное значение $\sqrt{2}$, а вычисленное значение через приближение равно $1.414$. Тогда:
Классификация погрешностей
- Рентрационный уровень ошибок: Вызываются округлением чисел и ограниченной точностью представления данных на компьютере.
- Погрешности метода: Возникают из-за приближенных алгоритмов и численных методов, таких как разложения или интерполяции.
- Итерационные погрешности: Связаны с процессами, требующими многократного повторения вычислений.
Правильное понимание и учет погрешности в вычислениях критически важны для достоверности результатов численного анализа.
Ключевые слова: вычислительная математика, погрешность, абсолютная погрешность, относительная погрешность, численные методы.
Категория: Математика
Теги: вычислительная математика, точность, численные методы