Поиск суммы и произведения корней квадратного уравнения
Для квадратного уравнения общего вида (ax2 + bx + c = 0) сумма и произведение корней можно найти, даже не решая само уравнение, с помощью теоремы Виета.
Формулы теоремы Виета:
- Сумма корней (x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})
- Произведение корней (x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a})
В нашем случае уравнение (x2 - 41x + 17 = 0) соответствует следующим коэффициентам:
(a = 1,\ b = -41,\ c = 17).
Сумма корней:
Подставляем значения в формулу суммы корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{-41}{1} = 41.
]
Произведение корней:
Подставляем значения в формулу произведения корней:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{17}{1} = 17.
]
Таким образом, сумма корней уравнения равна 41, а произведение — 17.
Дополнительная проверка через дискриминант:
Мы можем подтвердить эти результаты путем вычисления конкретных значений корней. Для этого рассчитаем дискриминант (D = b2 - 4ac):
[
D = (-41)2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 1689.
]
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных вещественных корня. Эти корни найдутся по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.
]
Однако без необходимости можно воздержаться от вычисления конкретных значений, так как мы уверены в правильности суммы и произведения по теореме Виета.
Надеюсь, вы нашли данный способ простым и понятным.
Категория: Математика
Теги: алгебра, квадратные уравнения, дискриминант