Как найти направляющий вектор прямой по ее уравнению?

Прямая на плоскости или в пространстве может быть задана векторными или параметрическими уравнениями. Один из способов задания прямой — через общие уравнения, которые имеют вид:

$$Ax+By+C=0$$

или в пространстве:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

Чтобы найти направляющий вектор для прямой, заданной этими уравнениями, следует учитывать, что направляющий вектор ( \mathbf{d} ) параллелен прямой и может быть выведен из параметрической формы прямой.

Двумерное пространство

Для 2D прямой, заданной уравнением ( Ax + By + C = 0 ), направляющий вектор ( \mathbf{d} ) можно определить как:

$$\mathbf{d}=(B,-A)$$

Этот выбор обусловлен тем, что направляющий вектор должен быть перпендикулярен нормальному вектору ( \mathbf{n} = (A, B) ).

Трехмерное пространство

В 3D случае, для прямой, заданной системой уравнений:

$$\{\begin{array}{l}Ax+By+Cz+D_1=0A^{\prime }x+B^{\prime }y+C^{\prime }z+D_2=0\end{array}$$

направляющий вектор определяется как векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей:

$$\mathbf{d}=\mathbf{n}\times {\mathbf{n}}^{\prime }=(A,B,C)\times (A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })$$

Практический пример

Для прямой, заданной уравнением ( 2x - 3y + 5 = 0 ), направляющий вектор будет: ( \mathbf{d} = (-3, -2) ) или ( \mathbf{d} = (3, 2) ) в зависимости от направления.

Ключевые понятия: направляющий вектор, уравнение прямой, нормальный вектор, векторное произведение.

Категория: Математика

Теги: аналитическая геометрия, векторы, уравнение прямой

• Заочник: Направляющий вектор прямой
• Справочник: Направляющий вектор прямой
• MathProfi: Уравнение прямой на плоскости