Прямая на плоскости или в пространстве может быть задана векторными или параметрическими уравнениями. Один из способов задания прямой — через общие уравнения, которые имеют вид:
[ Ax + By + C = 0 ]
или в пространстве:
[ Ax + By + Cz + D = 0 ]
Чтобы найти направляющий вектор для прямой, заданной этими уравнениями, следует учитывать, что направляющий вектор ( \mathbf{d} ) параллелен прямой и может быть выведен из параметрической формы прямой.
Двумерное пространство
Для 2D прямой, заданной уравнением ( Ax + By + C = 0 ), направляющий вектор ( \mathbf{d} ) можно определить как:
[ \mathbf{d} = (B, -A) ]
Этот выбор обусловлен тем, что направляющий вектор должен быть перпендикулярен нормальному вектору ( \mathbf{n} = (A, B) ).
Трехмерное пространство
В 3D случае, для прямой, заданной системой уравнений:
[ \begin{cases} Ax + By + Cz + D_1 = 0 \ A'x + B'y + C'z + D_2 = 0 \end{cases} ]
направляющий вектор определяется как векторное произведение нормальных векторов двух плоскостей:
[ \mathbf{d} = \mathbf{n} \times \mathbf{n}' = (A, B, C) \times (A', B', C') ]
Практический пример
Для прямой, заданной уравнением ( 2x - 3y + 5 = 0 ), направляющий вектор будет: ( \mathbf{d} = (-3, -2) ) или ( \mathbf{d} = (3, 2) ) в зависимости от направления.
Ключевые понятия: направляющий вектор, уравнение прямой, нормальный вектор, векторное произведение.
Категория: Математика
Теги: аналитическая геометрия, векторы, уравнение прямой