Деление касательной прямой между окружностями
Рассмотрим две окружности на плоскости с радиусами $R_1$ и $R_2$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Необходимо доказать, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, делит пополам общую касательную к окружностям в двух точках.
Доказательство
- Построение касательных. Пусть $T_1$ и $T_2$ — точки касания на окружностях $O_1$ и $O_2$ соответственно.
- Свойства касательных. Согласно теореме о касательных, проведённых из одной точки к окружности, прямые $OT_1$ и $OT_2$ равны.
- Симметрия относительно прямой. Прямая $AB$ является общей хордой двух окружностей, и она же является осью симметрии для отрезка $T_1T_2$.
По причине симметрии и равенства касательных от точек пересечения, точка пересечения прямой $AB$ с касательной $T_1T_2$ будет точкой середины этого отрезка.
Таким образом, прямая через точки пересечения двух окружностей делит пополам общую касательную к окружностям.
Категория: Геометрия
Теги: планиметрия, окружности, теоремы, деление отрезков