Строгое доказательство закона Архимеда
Закон Архимеда является фундаментальным принципом гидростатики, утверждающим, что на любое тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этой жидкостью. Чтобы доказать этот закон математически, необходимо рассмотреть равновесие сил, действующих на тело внутри жидкости.
Основное понятие
Закон Архимеда гласит: выталкивающая сила ( F_v ), действующая на тело, полностью или частично погружённое в жидкость, равна весу жидкости объёмом, вытесненным телом.
[ F_v = \rho{жидкости} \cdot V{вытесненной жидкости} \cdot g ]
где:
- ( \rho_{жидкости} ) — плотность жидкости,
- ( V_{вытесненной жидкости} ) — объём вытесненной жидкости,
- ( g ) — ускорение свободного падения.
Пошаговое доказательство
Гидростатическое давление: На глубине ( h ) в жидкости давление ( P ) определяется как
[ P = P{0} + \rho \cdot g \cdot h ]
где ( P{0} ) — атмосферное давление на поверхности жидкости.
Рассмотрим элементарный объём ( dV ): Давление действует на боковые поверхности элементарного объёма, но горизонтальные компоненты давления компенсируются ввиду симметрии.
Нижняя и верхняя поверхности объёма: Разность в давлении на нижней и верхней грани элементарного объёма создаёт результирующую силу, направленную вверх.
- На нижней грани (глубже): ( F{нижняя} = (P{0} + \rho \cdot g \cdot h_2) \cdot A ),
- На верхней грани (выше): ( F{верхняя} = (P{0} + \rho \cdot g \cdot h_1) \cdot A ).
Разность сил: Вычислим разность сил, действующих на верхнюю и нижнюю поверхность:
[ \Delta F = F{нижняя} - F{верхняя} = \rho \cdot g \cdot (h_2 - h_1) \cdot A = \rho \cdot g \cdot V]
где ( V = A \cdot (h_2 - h_1) ) — объём элементарного объёма ( dV ).
Заключение: Таким образом, вертикальная выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости, что и демонстрирует закон Архимеда.
Применение
Закон Архимеда широко используется в инженерии, судоходстве и многих других областях, обеспечивая понимание того, как тела ведут себя в жидкостях. Это позволяет рассчитывать плавучесть объектов и проектировать подходящие конструкции для требований различной плотности жидкостей.
Категория: Физика
Теги: гидростатика, выталкивающая сила, физические законы