Количество нулей в конце произведения натуральных чисел
Произведение последовательности натуральных чисел, например, факториал — это умножение всех чисел подряд от 1 до n. Важный вопрос заключается в определении, сколько нулей в конце этого произведения. Нули образуются, когда произведение делится на 10, что, в свою очередь, происходит, если произведение содержит множители 2 и 5, так как 10 = 2 × 5.
При вычислении факториала, например, 100!, мы находим, что гораздо больше чисел делится на 2, чем на 5. Следовательно, количество нулей в конце числа будет ограничено числом пятёрок. Таким образом, задача сводится к поиску количества множителей 5 в разложении чисел от 1 до n.
Пример: 100!
Для (100!), проверим числа, делящиеся на 5:
[
\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 20 + 4 + 0 = 24
]
Таким образом, в числе 100! будет 24 нуля в конце из-за наличия 24 множителей 5.
Этот метод можно обобщить для любого n:
[
\text{Кол-во нулей} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{5k} \right\rfloor
]
Здесь ( \left\lfloor x \right\rfloor ) обозначает целую часть (x), а суммирование продолжается, пока знаменатель (5k) не станет больше n.
Применяя этот метод, легко определить количество нулей для любой последовательности натуральных чисел.
Категория: Математика
Теги: комбинаторика, факториал, делимость