Внутри математики, а именно в функциональном анализе, существует важное понятие — ортонормированные системы в гильбертовом пространстве. Эти системы играют ключевую роль в решении уравнений и проведении анализа функций из различных пространств.
Полнота и замкнутость
Полная ортонормированная система — это система, в которой любое векторное пространство может быть разложено по векторам этой системы. Это говорит о том, что любой вектор пространства может быть выражен как (возможно бесконечная) линейная комбинация векторов этой системы.
Замкнутая ортонормированная система обладает свойством, что добавление векторов извне не дает внести в пространство новые векторы, т.е. система охватывает всё пространство.
Основной вопрос
Следует ли замкнутость ортонормированной системы из её полноты? Ответ — да, если пространство является полным (то есть гильбертовым). Для любого векторного пространства полнота означает, что оно не имеет "дырок" — для любой сходящейся поощереди векторов предел также принадлежит этому пространству. В гильбертовом пространстве полная ортонормированная система автоматически является замкнутой.
Однако в неполных пространствах, таких как пространства предваряющие гильбертовы, система может быть полной, но незамкнутой. Таким образом, замкнутость не обязательно следует из полноты, если пространство само по себе не является полным.
Итог
В заключение, в гильбертовом пространстве полнота ортонормированной системы самопроизвольно влечёт за собой её замкнутость. В иных условиях, таких как в неполных пространствах, это утверждение может быть неверным.
Категория: Математика
Теги: функциональный анализ, ортонормированные системы