Тригонометрические уравнения зачастую требуют применения различных методов преобразования и подстановок, чтобы упростить и решить их. Рассмотрим уравнение:
[
sin\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) \cdot \cos(2x) - 1 = sin(3x) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right)
]
Раскроем тригонометрические функции используя основные идентичности.
- Функция ( \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ) и ( \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b ).
- Для удобства заменим ( a = \frac{\pi}{2} ) и ( b = 3x ), тогда ( \sin\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) = \cos 3x ).
- Аналогично, раскроем ( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin 2x ).
Применение тождества:
- После раскрытия уравнение принимает вид:
[
\cos 3x \cdot \cos 2x - 1 = \sin 3x \cdot (-\sin 2x)
]
Преобразуем уравнение, используя произведения синусов и косинусов.
- Применим тождество для косинусов: (2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) ).
- Применим тождество для синусов: ( 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) ).
Сделаем дополнительную замену и сократим уравнение, если возможно.
Решаем полученное упрощенное уравнение.
- Выражаем одну переменную через другую, или используем численные методы для нахождения ответов.
Решая шаг за шагом, вы сможете прийти к решению этого уравнения, работая с каждой частью неравенства отдельно и применяя стандартные методы устранения синусов и косинусов в уравнении.
Категория: Математика
Теги: тригонометрия, уравнения, преобразования