Восстановление коэффициентов полинома по корням через формулы Виета
Формулы Виета — это набор математических связей между корнями полинома и его коэффициентами. Рассмотрим полином степени $n$:
$$ P(x) = a_n xn + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 $$
где $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ — это коэффициенты полинома, а $x_1, x_2, \ldots, x_n$ — его корни. Согласно формуле Виета, сумма корней (взяв их с учетом знака) равна отношению младшего коэффициента к старшему, то есть:
- $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$,
- сумма произведений пар корней равна $\frac{a_{n-2}}{a_n}$,
- продолжая в этом духе до самого младшего члена, мы получаем:
$$ x_1 x_2 \ldots x_n = (-1)n \frac{a_0}{a_n} $$
Эти соотношения позволяют определить коэффициенты полинома, зная его корни.
Пример применения
Предположим, у нас есть квадратный полином $P(x) = ax2 + bx + c$, и его корни равны $x_1$ и $x_2$. Используя формулы Виета, мы можем записать:
- $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
- $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
Если заданы сами корни, можно выразить коэффициенты $b$ и $c$ через $a$, $x_1$, и $x_2$:
- $b = -a(x_1 + x_2)$
- $c = a(x_1 x_2)$
Таким образом, при известном $a$, мы можем восстановить остальные коэффициенты для полного описания полинома.
Формулы Виета полезны при обратной задаче — восстановлении полинома по известным корням, что находит применение в различных математических и прикладных задачах.
Категория: Математика
Теги: полиномы, алгебра, корни уравнений