Решение парадокса Гранд-отеля
Парадокс Гранд-отеля, предложенный математиком Давидом Гильбертом, является известной иллюстрацией парадоксальных свойств бесконечности. Представьте себе отель с бесконечным числом номеров, и все они заняты. Вопрос заключается в том, можем ли мы заселить в этот полностью занятый отель еще одного гостя? Ответ — да, и вот как это делается.
Заселение одного нового гостя
Если в отеле бесконечное количество номеров и все заняты, вы можете попросить каждого гостя переместиться в номер с номером на единицу больше. Таким образом, гость из номера 1 переедет в номер 2, из номера 2 — в номер 3 и так далее. Это освободит первый номер для нового гостя.
Заселение бесконечного числа новых гостей
Если прибудет бесконечное количество новых гостей, мы можем повторить этот процесс по-другому: переместите каждого текущего гостя в номер, номер которого является удвоенным номером их текущей комнаты (гостя из номера 1 переселяют в номер 2, из 2 — в номер 4 и т. д.). Таким образом, все четные номера будут заняты, но останется бесконечное количество нечетных номеров для новых гостей.
Объяснение с помощью теории множеств
Этот процесс демонстрирует свойства актуальной бесконечности и понятие обратимости числового ряда в теории множеств, предложенной Георгом Кантором. Основой здесь является идея, что натуральные числа можно биективно (взаимно однозначно) соотнести с бесконечным множеством их подмножеств, что и дает возможность перераспределения.
Парадокс Гранд-отеля иллюстрирует неочевидные свойства бесконечности, которые оказываются весьма контринтуитивными и вызывающими удивление.
Категория: Математика
Теги: парадоксы, актуальная бесконечность, теория множеств