Параметрически заданные функции часто встречаются в задачах на плоскости, где координаты (x) и (y) выражаются через параметр (t). Чтобы найти производную такой функции, нужно сначала выразить (x) и (y) в виде:[x = f(t), \ y = g(t)].
Процедура нахождения производной
- Находим производные (\frac{dx}{dt}) и (\frac{dy}{dt}) для функций (x(t)) и (y(t)) соответственно.
- Производная (\frac{dy}{dx}) находится как частное производных функции (y(t)) и (x(t)):
[\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}]
если (\frac{dx}{dt} \neq 0).
Пример:
Рассмотрим функцию, заданную параметрически:
[x = t2 + 1, \ y = t3 - t]
Найдем производные по параметру (t):
[\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t2 - 1]
Теперь вычислим производную (\frac{dy}{dx}):
[\frac{dy}{dx} = \frac{3t2 - 1}{2t}]
Таким образом, мы получаем выражение для производной параметрически заданной функции, что позволяет изучать ее поведение и проводить дальнейший анализ.
Категория: Математика
Теги: параметрические функции, производная, анализ