Доказательство вписанного угла на окружности
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Одна из ключевых теорем, связанных с вписанными углами, утверждает, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, является прямым.
Формальная постановка:
Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то он равен $90\circ$.
Доказательство:
Обозначения: Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — её диаметр, и $C$ — точка на окружности, отличная от $A$ и $B$, образующая вписанный угол $\angle ACB$.
Центральные углы: Угол $\angle AOB$ является центральным и равен $180\circ$ потому, что $AB$ — диаметр. При этом $\angle AOB$ опирается на ту же дугу, что и $\angle ACB$.
Связь центрального и вписанного углов: По свойству окружности, вписанный угол $\angle ACB$ равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB ]
Подставляем значение центрального угла:
[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times 180\circ = 90\circ ]
Таким образом, вписанный угол, опирающийся на диаметр (или полуокружность), является прямым.
Это свойство используется в различных задачах для упрощения вычислений и доказательства других геометрических утверждений.
Ключевые понятия: вписанный угол, центральный угол, окружность, диаметр.
Категория: Математика
Теги: геометрия, теоремы, окружность