Этот сайт лучше всего просматривать в современном браузере с включённым JavaScript.

Что такое показательная форма записи комплексного числа?

EvgeniyGame

Показательная форма записи комплексного числа

Комплексное число можно записать в показательной форме, используя базу экспоненты. Обычно комплексное число представляется в виде ( z = a + bi ), где ( a ) и ( b ) — действительная и мнимая части соответственно. Показательная форма дает альтернативный способ выражения комплексного числа как ( z = r e^{i\theta} ).

Переход к показательной форме

Модуль и аргумент числа:
- Модуль ( r = \sqrt{a² + b²} ).
- Аргумент ( \theta ) определяется как ( \theta = \text{atan2}(b, a) ).
Формула Эйлера: Используем формулу Эйлера: ( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta ). Таким образом:
[
z = r (\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}.
]

Преимущества

Упрощение вычислений:
Показательная форма облегчает вычисление произведений и делений комплексных чисел, сводя их к работе с модулями и аргументами:
- Произведение: ( z_1 \times z_2 = r_1e^{i\theta_1} \times r_2e^{i\theta_2} = (r_1r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)} ).
- Деление: ( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} ).
Полезность в физике и инженерии:
Описание и анализ колебательных процессов, особенно в электротехнике, радиоэлектронике и других точных науках.

Показательная форма записи комплексного числа предоставляет мощный математический инструмент для анализа фазовых колебаний и сигналов, значительно упрощая математические преобразования в задачах на умножение и деление комплексных величин.

Категория: Математика

Теги: комплексные числа, алгебра, математический анализ