Понятие плотности вероятности
Плотность вероятности — это функция, описывающая распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Она используется для определения вероятности того, что случайная величина примет значение в заданном интервале.
Формула плотности вероятности
Плотность вероятности ( f(x) ) связана с функцией распределения ( F(x) ) случайной величины следующим образом:
$$ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) $$
где ( F(x) ) — это интегральная (кумулятивная) функция распределения вероятностей, дающая вероятность того, что случайная величина ( X ) меньше или равна ( x ).
Основные свойства
- Неотрицательность: Для всех значений ( x ) функция плотности вероятности ( f(x) \geq 0 ).
- Нормировка: Интеграл от функции плотности вероятности по всем возможным значениям равен единице:
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $$
- Вычисление вероятности: Вероятность того, что случайная величина ( X ) попадет в интервал от ( a ) до ( b ), определяется как:
$$ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$
Примеры
Нормальное распределение: Одним из самых известных примеров является нормальное распределение, чья плотность вероятности выражается формулой:
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)2}{2\sigma2}} $$
Экспоненциальное распределение: Плотность вероятности экспоненциального распределения:
$$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{для} \quad x \geq 0 $$
gде ( \lambda > 0 ) — интенсивность распределения.
Эти примеры подчеркивают, что функция плотности вероятности позволяет описать и анализировать распределение вероятностей для непрерывных случайных величин, что является ключевым аспектом в статистике и вероятностных моделях.
Категория: Математика
Теги: теория вероятностей, статистика, математический анализ