Построение графиков дробно-рациональных функций
Дробно-рациональные функции имеют вид ( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} ), где ( P(x) ) и ( Q(x) ) — многочлены. При построении графиков этих функций необходимо учитывать особенности их поведения, такие как асимптоты и точки разрыва.
Этапы построения графика
Нахождение области определения. Исключите из области определения те значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль: ( Q(x) = 0 ).
Исследование асимптот.
- Вертикальные асимптоты возникают в точках, где знаменатель обращается в ноль, если при этом числитель не равен нулю.
- Горизонтальные и наклонные асимптоты зависят от степени числителя и знаменателя:
- Если степень числителя меньше степени знаменателя, существует горизонтальная асимптота ( y = 0 ).
- Если степени равны, горизонтальная асимптота ( y = \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) — коэффициенты при старших членах числителя и знаменателя соответственно.
- Если степень числителя больше на единицу, существует наклонная асимптота.
Нахождение пересечений с осями.
- Пересечения с осью Oy: подставьте ( x = 0 ) в ( f(x) ) при условии, что это значение входит в область определения.
- Пересечения с осью Ox: найдите корни уравнения ( P(x) = 0 ), которые входят в область определения.
Анализ поведения на участках. Исследуйте знаки функции и её производных, чтобы определить поведение на участках между вертикальными асимптотами.
Пример функции
Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{x2 - 1}{x + 2} ).
- Область определения: ( x \neq -2 ).
- Вертикальная асимптота: ( x = -2 ).
- Горизонтальные асимптоты: отсутствуют, но при ( x \to \infty ) приближаясь к наклонной, ( y = x - 2 ).
Используйте данные этапы для построения графика, учитывая каждую найденную характеристику функции.
Категория: Математика
Теги: алгебра, средняя школа, функции