Различия между функцией вероятности и функцией распределения
При работе с вероятностными распределениями важно понимать разницу между функцией вероятности и функцией распределения. Эти термины относятся к анализу дискретных и непрерывных случайных величин и используются в различных аспектах теории вероятностей и статистики.
Функция вероятности (Probability Mass Function, PMF):
Функция вероятности применяется к дискретным случайным величинам. Она описывает вероятности, с которыми случайная величина принимает определенные значения. Для функции вероятности выполняется условие:
[
P(X = x_i) = p_i]
где (X) — случайная величина, (x_i) — возможное значение этой величины, а (p_i) — его вероятность. Сумма всех вероятностей для дискретной случайной величины всегда равна 1:
[
\sum_{i} P(X = x_i) = 1]
Функция распределения (Cumulative Distribution Function, CDF):
Функция распределения описывает вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное данному значению. Она применяется к как дискретным, так и к непрерывным случайным величинам. Обозначается как (F(x)):
[
F(x) = P(X \leq x)]
Для непрерывных случайных величин функция распределения вычисляется с использованием интеграла плотности вероятности:
[
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt]
где (f(t)) — плотность вероятности.
Ключевые различия:
- Применимость: Функция вероятности применяется только к дискретным случайным величинам, тогда как функция распределения используется как для дискретных, так и для непрерывных величин.
- Значение и интерпретация: Функция вероятности дает вероятность конкретного результата, а функция распределения описывает накопленную вероятность всех результатов до определенной точки.
- Графическое представление: На графике функция вероятности имеет форму вершин (столбцов), а функция распределения представляет собой неубывающую кривую.
Проиллюстрированные здесь различия предоставляют базовое понимание, необходимое для работы с вероятностями, будь то в математической статистике или в прикладных задачах анализа данных.
Категория: Математика
Теги: теория вероятностей, случайные величины, статистика