Квадратный корень из 2 — это число, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из целых чисел. Формально говоря, оно является иррациональным числом. Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в виде обыкновенной дроби, где числитель и знаменатель — целые числа.
Доказательство иррациональности
Одним из самых популярных доказательств того, что ( \sqrt{2} ) иррационально, является доказательство методом противоречия.
Предположим, что ( \sqrt{2} ) рационально. Тогда его можно выразить в виде обыкновенной дроби ( \frac{a}{b} ), где ( a ) и ( b ) — взаимно простые целые числа, не имеющие общих делителей, кроме 1. Иначе говоря, ( \frac{a}{b} ) — несократимая дробь.
Квадратируем обе части:
[ \left( \frac{a}{b} \right)2 = 2 ]
[ \frac{a2}{b2} = 2 ]
[ a2 = 2b2 ]
Таким образом, ( a2 ) четно, поскольку выражается как произведение двух на ( b2 ). Значит, и ( a ) должно быть четным (поскольку квадрат нечетного числа нечетен).
Пусть ( a = 2c ) для некоторого целого ( c ). Подставляем в выражение:
[ (2c)2 = 2b2 ]
[ 4c2 = 2b2 ]
[ 2c2 = b2 ]
Это означает, что ( b2 ) также четно, а значит, ( b ) также четно.
Противоречие. Обе переменные ( a ) и ( b ) оказались четными, что противоречит нашему первоначальному предположению о том, что дробь несократима.
Таким образом, наше начальное предположение неверно, и ( \sqrt{2} ) действительно является иррациональным числом.
Это доказательство показывает, что корень из 2 — классический пример числа, не имеющего рационального представления.
Категория: Математика
Теги: числовые структуры, теория чисел, иррациональные числа