Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка часто встречаются при решении задач физики и техники, например, в механике или электротехнике. Рассмотрим общий вид такого уравнения:
[ a \cdot y''(x) + b \cdot y'(x) + c \cdot y(x) = f(x) ]
где (a, b,) и (c) — постоянные коэффициенты, (f(x)) — известная функция, описывающая внешние воздействия на систему.
Шаги решения
Нахождение общего решения соответствующего однородного уравнения
Первым шагом является решение однородного уравнения, полученного при равенстве правой части нулю:
[ a \cdot y''(x) + b \cdot y'(x) + c \cdot y(x) = 0 ]
Решение этой задачи зависит от характеристического уравнения:
[ a \cdot r2 + b \cdot r + c = 0 ]
В зависимости от дискриминанта (D = b2 - 4ac), общее решение принимает разные формы:
При (D > 0): (r_1) и (r_2) — два различных действительных корня.
[ y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} ]
При (D = 0): один действительный корень (r).
[ y_h(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x} ]
При (D < 0): комплексные корни (r = \u03B1 \pm i \u03B2).
[ y_h(x) = e^{\u03B1 x} (C_1 \cos(\u03B2 x) + C_2 \sin(\u03B2 x)) ]
Нахождение частного решения неоднородного уравнения
Частное решение (y_p(x)) зависит от вида функции (f(x)). Определяется методом подбора или методом вариации постоянных.
Объединение решений
Общее решение неоднородного уравнения — это сумма общих решений однородного уравнения и частного решения:
[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) ]
Пример
Для уравнения
[ y'' - 3y' + 2y = ex ]
Решаем соответствующее однородное уравнение и находим характеристическое уравнение:
[ r2 - 3r + 2 = 0 ]
Корни: (r_1 = 1) и (r_2 = 2), следовательно:
[ y_h(x) = C_1 ex + C_2 e^{2x} ]
Для частного решения используем метод подбора, подставляем (y_p(x) = A ex) в уравнение и определяем (A). Затем,
[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) ]
Таким образом решается дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Категория: Математика
Теги: дифференциальные уравнения, математическое моделирование, линейная алгебра