Число $e$ — это одна из фундаментальных констант в математике. Оно определено как предел следующей последовательности:
$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)n$$
Это число приближённо равно 2.71828 и относится к классу иррациональных чисел, что значит, что его нельзя выразить в виде простой дроби. Важность числа $e$ вытекает из его роли в различных областях математики и науки.
Историческое значение
Число $e$ имеет богатую историю. Оно появилось в трудах шотландского математика Джона Непера при исследовании логарифмов в начале XVII века. Однако его свойства начали изучаться более основательно только после введения исчисления интенсивностей прироста (дифференциальное исчисление) в XVII веке.
Применение в математическом анализе
В математическом анализе число $e$ играет ключевую роль. Его свойства позволяют значительно упростить работу с экспоненциальными функциями и логарифмами. Например, производная функции $ex$ является самой собой, что делает её удобной для математических вычислений.
Формула Тейлора
Функция $ex$ может быть разложена в бесконечный ряд Тейлора:
$$ex = 1 + x + \frac{x2}{2!} + \frac{x3}{3!} + \frac{x4}{4!} + \ldots$$
Это разложение используется для приближённых вычислений в численных алгоритмах.
*Ключевые слова: математический анализ, число $e$, экспоненциальная функция, истоки числа.*
Категория: Математический анализ
Теги: математика, числовые последовательности, математический анализ