Биссектриса равностороннего треугольника
Рассмотрим равносторонний треугольник, у которого все стороны равны и все углы по 60 градусов. В таком треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают и делят треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна ( a ). Тогда длина биссектрисы ( h ) может быть найдена путем применения теоремы Пифагора к одному из образовавшихся прямоугольных треугольников.
В нашем случае катетами прямоугольного треугольника будут ( \frac{a}{2} ) и высота ( h ), а гипотенузой — сама сторона ( a ) равностороннего треугольника. Применяя теорему Пифагора, получаем:
[
\left(\frac{a}{2}\right)2 + h2 = a2
]
Раскрыв скобки и вычтя ( \left(\frac{a}{2}\right)2 ) из обеих сторон, получим:
[
h2 = a2 - \left( \frac{a2}{4} \right)
]
[
h2 = \frac{3a2}{4}
]
Следовательно, длина биссектрисы ( h ) равна:
[
h = \frac{a\sqrt{3}}{2}
]
Таким образом, биссектриса равностороннего треугольника, проведённая из любой его вершины, равна ( \frac{a\sqrt{3}}{2} ), где ( a ) — длина стороны треугольника.
Категория: Геометрия
Теги: математический анализ, тригонометрия, свойства треугольников