В линейной алгебре понятие отображения позволяет описывать связи между множествами и их элементами. Отображение ( f: A o B ) называется инъективным, если оно переводит различные элементы из множества A в различные элементы множества B. Другими словами, если ( f(x_1) = f(x_2) ) всегда влечёт за собой ( x_1 = x_2 ).
Сюръективное отображение переводит все элементы из множества B в образы, то есть для любого элемента ( y \in B ) существует такой элемент ( x \in A ), что ( f(x) = y ).
Отображение, которое не является ни инъективным, ни сюръективным, значит, что:
- Существует, по крайней мере, два различных элемента ( x_1, x_2 \in A ), для которых ( f(x_1) = f(x_2) ) (не инъективно).
- Существуют элементы в B, которые не являются образами элементов из A (не сюръективно).
Пример: Рассмотрим отображение ( f: \mathbb{R}2 o \mathbb{R} ), заданное как ( f(x, y) = x2 ). Это отображение не является инъективным, потому что, например, ( f(1, 0) = f(-1, 0) = 1 ). Оно также не является сюръективным, так как для отрицательных значений y не существует такой пары (x, y), что ( x2 = y ).
Таким образом, отображение, которое не является ни инъективным, ни сюръективным, не удовлетворяет условиям функционального взаимооднозначия или покрытия множества, что ограничивает его в некоторых математических применениях, но не лишает смысла в других контекстах.
Категория: Математика
Теги: линейная алгебра, теоретическая математика, функции