Вычисление суммы натуральных чисел от 1 до 100
Задача нахождения суммы всех натуральных чисел от 1 до 100 представляет собой классическое применение формулы суммы членов арифметической прогрессии.
Основная формула
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел с постоянной разницей между каждым последующим и предыдущим членами. Для нахождения суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии используется следующая формула:
[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) ]
где:
- ( S_n ) – сумма первых ( n ) членов прогрессии,
- ( n ) – количество членов,
- ( a_1 ) – первый член прогрессии (в данном случае 1),
- ( a_n ) – последний член прогрессии (в данном случае 100).
Применение формулы
Для диапазона от 1 до 100:
- ( a_1 = 1 )
- ( a_n = 100 )
- ( n = 100 )
Подставив данные значения в формулу, получаем:
[ S_{100} = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 ]
Таким образом, сумма всех чисел от 1 до 100 равна 5050.
Эта задача была сформулирована и решена знаменитым математиком Карлом Фридрихом Гауссом, который ещё в детстве увидел закономерность в последовательности чисел и сформулировал этот быстрый метод вычисления.
Категория: Математика
Теги: арифметическая прогрессия, школьная программа, элементарная математика