Метод наискорейшего спуска, также известный как метод градиентного спуска, — это численный метод оптимизации, используемый для нахождения локального минимума функции. В его основе лежит идея движения в направлении наискорейшего уменьшения функции, которое определяется отрицательным градиентом.
Алгоритм метода наискорейшего спуска
Начальная точка: Выбор начальной точки ( x_0 ) с заданными координатами, с которой начнется процесс оптимизации.
Вычисление градиента: Для текущей точки ( x_k ) вычисляется градиент функции ( \nabla f(x_k) ). Градиент указывает направление наибольшего увеличения функции.
Определение направления спуска: Выбирается направление противоположное градиенту, то есть ( -\nabla f(x_k) ). Это направление наискорейшего убывания.
Шаг по направлению спуска: Определение шага ( \alpha_k ), который оптимизирует перемещение вдоль заданного направления. Обычно используется золотое сечение, параболическое приближение или метод наискорейшего спуска вдоль линии для вычисления оптимального шага.
Обновление точки: Перемещение к новой точке по формуле:
[ x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k) ]
Проверка сходимости: Если изменение в функции меньше заданного порога или число итераций превышает максимум, алгоритм останавливается. В противном случае, возвращаемся к шагу 2.
Особенности метода
Проблема плоскостей и долин: Метод может медленно сходиться в ситуациях, где имеется длительная, узкая «долина», из-за чего шаги становятся слишком малыми.
Проблема локальных минимумов: Метод наискорейшего спуска может застрять в локальных минимумах, если функция нелинейна и имеет сложную структуру.
Этот метод активно используется в задачах машинного обучения и других областях, где требуется минимизация ошибок модели.
Ключевые слова: оптимизация, градиентный метод, численный анализ.
Категория: Математика
Теги: оптимизация, численные методы, алгоритмы