Для нахождения наименьшего целочисленного значения параметра $a$, при котором уравнение ( \sqrt{2xy-a} = x + y + 3 ) не имеет решений, необходимо исследовать условия существования корня уравнения.
Исследование уравнения
Неотрицательность подкоренного выражения:
Для любого $x$ и $y$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:
[ 2xy - a \geq 0, ]
или, переписав, получим:
[ a \leq 2xy. ]
Свойства корня и равенства:
Поскольку подкоренное выражение должно равняться правой части, то:
[ \sqrt{2xy-a} = x + y + 3. ]
Возведем обе части в квадрат для устранения корня:
[ 2xy - a = (x + y + 3)2. ]
Переписываем уравнение:
[ 2xy - a = x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9. ]
Упростив, выражение получится:
[ -a = x2 + y2 + 6x + 6y + 9. ]
Следовательно,
[ a = - (x2 + y2 + 6x + 6y + 9). ]
Минимизация $a$:
Из сформулированных условий видно, что для любых натуральных $x$ и $y$ данное выражение эквивалентно выбору таких значений переменных, которые минимизируют $a$.
При анализе видно, что $x = 0$ и $y = 0$ минимизируют правую часть уравнения, но поскольку переменные $x$ и $y$ обозначены как положительные натуральные числа, начинать исследование стоит с $x = 1$ и $y = 1$.
Тогда будет:
[ a = - (12 + 12 + 6 \times 1 + 6 \times 1 + 9) = -23. ]
Итоговое значение
Таким образом, минимальное целое значение параметра $a$, при котором уравнение не имеет решения для позитивных натуральных значений $x$ и $y$, равно (-23).
Категория: Математика
Теги: алгебра, уравнения, параметры, системы уравнений