Расчет энергии частицы с помощью волновой функции
Для расчета энергии частицы в рамках квантовой механики используется волновая функция ( \psi(x) ). Волновая функция содержит полную информацию о вероятностном распределении положения и состояния частицы в пространстве. Основополагающим уравнением для такого расчет является уравнение Шредингера.
Уравнение Шредингера
Стационарное уравнение Шредингера описывается следующим выражением:
[ \hat{H} \psi(x) = E \psi(x) ]
где:
- ( \hat{H} ) — гамильтониан, оператор полной энергии системы;
- ( E ) — полная энергия частицы;
- ( \psi(x) ) — стационарная волновая функция.
Применение гамильтониана
Гамильтониан для одиночной частицы с массой ( m ) в одномерном потенциале ( V(x) ) может быть записан как:
[ \hat{H} = -\frac{\hbar2}{2m} \frac{d2}{dx2} + V(x) ]
где ( \hbar ) — приведенная постоянная Планка. Первая часть выражения представляет собой кинетическую энергию, а вторая — потенциальную энергию.
Расчет энергии
Для нахождения энергии ( E ) необходимо подставить волновую функцию ( \psi(x) ) в уравнение Шредингера. Решая дифференциальное уравнение, можно найти дискретные значения энергии ( E ), соответствующие допустимым состояниям системы.
Пример
Рассмотрим простой пример — частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме, где потенциальная энергия в границах ямы равна нулю. Для данной задачи стационарные состояния описываются:
[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left( \frac{n \pi x}{L} \right) }, \quad n = 1, 2, 3, \ldots ]
Энергетический вклад соответствует:
[ E_n = \frac{n2 \pi2 \hbar2}{2mL2} ]
Этот пример иллюстрирует квантование энергии в строго определенных условиях, соответственно, квантовая механика может использоваться для изучения широкого спектра систем от атомных до макроскопических.
Ключевые слова: квантовая механика, уравнение Шредингера, волновая функция, гамильтониан, квантование энергии.
Категория: Физика
Теги: квантовая механика, уравнение Шредингера, волновая функция