Координаты в цилиндрической и сферической системах
Цилиндрическая система координат
В цилиндрической системе координат используются три параметра: радиальная координата ( r ), угол ( \theta ) и высота ( z ).
Радиальная координата ( r ) – расстояние от произвольной точки до вертикальной оси. Эту координату можно определить по формуле:
[
r = \sqrt{x2 + y2}
]
где ( x ) и ( y ) – декартовы координаты.
Угол ( \theta ) – угол, образованный положительным направлением оси ( x ) и линией от начала координат до точки ( (x, y) ). Угол выражен в радианах:
[
\theta = \text{atan2}(y, x)
]
Высота ( z ) – это координата по оси ( z ), остаётся аналогичной декартовой системе.
Сферическая система координат
Сферическая система также использует три переменные: радиус ( \rho ), полярный угол ( \phi ) и азимутальный угол ( \theta ).
Радиус ( \rho ) – расстояние от начала координат до точки:
[
\rho = \sqrt{x2 + y2 + z2}
]
Полярный угол ( \phi ) – угол между положительной осью ( z ) и линией, проходящей от начала координат к точке:
[
\phi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)
]
Азимутальный угол ( \theta ) – это угол между положительным направлением оси ( x ) и проекцией радиус-вектора точки на плоскость ( xy ):
[
\theta = \text{atan2}(y, x)
]
Применение и преобразование
Обе системы координат используются для упрощения задач, связанных с объектами, имеющими симметрию вокруг оси или центра, такими как цилиндры и сферы соответственно. Преобразование из одной системы в другую требует знания сферической тригонометрии и законов о тригонометрических функциях.
Отметим, что выбор между этими системами может существенно упростить рассмотрение физической задачи и последующий математический анализ.
Ключевые слова: цилиндрическая система, сферическая система, радиальная координата, полярный угол.
Категория: Математика
Теги: геометрия, координатные системы, трёхмерное пространство