Множества реальных чисел, содержащихся на интервале от 0 до 1, и множества рациональных чисел имеют разную мощность.
Мощность множеств
Мощность множества (кардинальность) – это характеристика множества, определяющая количество его элементов. Два множества A и B равномощны, если между ними существует биекция, т.е. взаимно однозначное соответствие.
Рациональные числа
Множество рациональных чисел является счетно бесконечным. Это означает, что можно перечислить рациональные числа в виде последовательности:
$$ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, \ldots $$
Этот факт был доказан Георгом Кантором, который показал, что рациональные числа можно сопоставить с множеством натуральных чисел.
Действительные числа
В отличие от рациональных, множество действительных чисел на отрезке ((0, 1)) несчетно. Кантор также доказал, что мощность множества действительных чисел больше, чем мощность множеств натуральных или рациональных чисел, использовав метод диагональных аргументов.
Вывод
Таким образом, множества рациональных чисел и действительных чисел между 0 и 1 неравномощны. Множество рациональных чисел счетно, а множество действительных чисел на этом отрезке – несчетно.
Категория: Математика
Теги: теория множеств, кардинальные числа, математика