Фазовая траектория линейного гармонического осциллятора
Линейный гармонический осциллятор является одной из фундаментальных моделей в физике для описания колебательных систем. Его уравнение движения описывается вторым законом Ньютона как система дифференциальных уравнений:
[ m \frac{d2x}{dt2} = -kx, ]
где ( m ) — масса осциллятора, ( k ) — коэффициент жесткости пружины, а ( x ) — отклонение от положения равновесия. Решением этого уравнения является гармоническая функция:
[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi), ]
где ( A ) — амплитуда, ( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} ) — циклическая частота, а ( \phi ) — начальная фаза.
Фазовая траектория — это график зависимости скорости от положения осциллятора. Для гармонического осциллятора фазовая траектория имеет вид эллипса в фазовом пространстве ( (x, v) ), где скорость ( v = \frac{dx}{dt} ).
Для получения уравнения эллипса в фазовом пространстве можно вывести уравнения для скорости:
[ v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi). ]
Подставляя в уравнение для эллипса:
[ \frac{x2}{A2} + \frac{v2}{A2 \omega2} = 1. ]
Эта формула показывает, что в фазовом пространстве осциллятор описывает замкнутую траекторию в виде эллипса с центральной точкой в нуле.
Основным параметром фазовой траектории является тот факт, что она не изменяется во времени в отсутствии диссипативных сил, что тождественно сохранению механической энергии в системе без трения.
Переменные: осциллятор, фазовое пространство, эллипс, энергия.
Категория: Физика
Теги: динамика, гармонический осциллятор, фазовая траектория