Функция ( f(x) = \frac{\sin x}{x} ) вызывает особый интерес при ( x = 0 ), поскольку прямая подстановка приводит к выражению ( \frac{0}{0} ), которое неопределено. Однако, можно определить значение функции в этой точке через предел.
Рассмотрим предел функции при ( x \to 0 ):
[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1. ]
Этот результат можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора для ( \sin x ) вокруг нуля:
[ \sin x = x - \frac{x3}{3!} + \frac{x5}{5!} - \cdots ]
Подставляя это разложение в функцию ( \frac{\sin x}{x} ), мы получаем:
[ \frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x3}{3!} + \cdots}{x} = 1 - \frac{x2}{3!} + \cdots ]
При устремлении ( x ) к нулю, все высшие степени ( x ) стремятся к нулю, и остаётся только константа 1. Поэтому предел равен единице, и функция непрерывно продолжается в точке 0 с заданным значением 1.
Такое поведение называется устранением разрыва, поскольку значение функции правильно определяется через предел. Этот метод распространен в анализе для изучения поведения функций в неопределённых точках.
Категория: Математика
Теги: лимит, тригонометрия, анализ функций