Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Крамера представляет собой простой и эффективный способ решения систем линейных уравнений с использованием детерминантов. Этот метод применяется в случаях, когда количество уравнений равно количеству неизвестных, то есть система квадратная и имеет единственное решение.
Основные шаги метода Крамера
Определение детерминанта системы: Для начала необходимо записать матрицу коэффициентов системы и вычислить её детерминант ( \Delta ).
Для матрицы ( A = \begin{pmatrix} a{11} & a{12} & ... & a{1n} \ a{21} & a{22} & ... & a{2n} \ ... & ... & ... & ... \ a{n1} & a{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} ), детерминант рассчитывается так:
[ \Delta = \begin{vmatrix} a{11} & a{12} & ... & a{1n} \ a{21} & a{22} & ... & a{2n} \ ... & ... & ... & ... \ a{n1} & a{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} ]
Построение матриц для каждого неизвестного: Для каждого неизвестного ( x_i ), создаётся новая матрица ( A_i ) заменой i-того столбца матрицы ( A ) на столбец свободных членов ( b ) системы.
Вычисление детерминантов для новых матриц: Для каждой матрицы ( A_i ), вычисляется детерминант ( \Delta_i ).
Нахождение решений: Решение системы ( x_i ) находится по формуле Крамера:
[ x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} ]
Условия применения метода: ( \Delta \neq 0 ), что означает систему с единственным решением.
Пример
Рассмотрим систему из двух уравнений:
[ \begin{align} 2x + 3y &= 5 \ 4x - y &= 1 \end{align} ]
Строим матрицу коэффициентов и вычисляем её детерминант:
[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) - 3(4) = -2 - 12 = -14 ]
Определяем матрицы ( A_1 ) и ( A_2 ):
- ( A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \ 1 & -1 \end{pmatrix} ) с ( \Delta_1 = 5(-1) - 3(1) = -5 - 3 = -8 )
- ( A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 5 \ 4 & 1 \end{pmatrix} ) с ( \Delta_2 = 2(1) - 5(4) = 2 - 20 = -18 )
Нахождение ( x ) и ( y ):
[ x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-8}{-14} = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-18}{-14} = \frac{9}{7} ]
Таким образом, решением системы будет ( x = \frac{4}{7}, \quad y = \frac{9}{7} ).
Метод Крамера показателен своей простотой для небольших систем, однако может стать трудоемким для больших матриц, где вычисление детерминантов более сложное.
Категория: Математика
Теги: алгебра, линейные уравнения, численные методы