Как найти путь, пройденный точкой за определенное время
Когда скорость движения точки ( v(t) ) задана в виде функции времени, путь ( s(t) ), который точка проходит за время от начального момента ( t_0 ) до конечного ( t_1 ), можно найти с помощью интегрирования скорости.
Например, пусть скорость точки описывается уравнением:
[
v(t) = 3t2 + 2t + 1
]
Чтобы найти путь ( s(t) ), пройденный точкой за ( 1 ) секунду с момента старта, необходимо вычислить определенный интеграл этой функции от ( t = 0 ) до ( t = 1 ):
[
s = \int_{0}^{1} (3t2 + 2t + 1) \,dt
]
Решим этот интеграл:
- Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:
[
\int 3t2 \,dt = t3
]
[
\int 2t \,dt = t2
]
[
\int 1 \,dt = t
]
- Подставляем пределы интегрирования: от 0 до 1:
[
s = [t3 + t2 + t]_{0}^{1} = (13 + 12 + 1) - (03 + 02 + 0) = 1 + 1 + 1 = 3
]
Итак, за ( 1 ) секунду точка проходит путь в ( 3 ) метра.
Категория: Физика
Теги: кинетика, интегральное исчисление, механика