Комплексные числа, представляющие расширение множества вещественных чисел, сыграли значительную роль в развитии математики. Они образуются путем добавления мнимой единицы (i), где (i2 = -1), что дает нам числа вида (a + bi), где (a) и (b) — вещественные числа. Этот шаг открытия позволил решать уравнения, неразрешимые в области вещественных чисел, например, извлечение квадратных корней из отрицательных чисел.
Следующим этапом в расширении числового множества стали кватернионы и октонионы. Кватернионы введены Уильямом Гамильтоном в 1843 году и представляют собой расширение комплексных чисел. Их можно представить в виде (a + bi + cj + dk), где (i, j,) и (k) — мнимые единицы, подчиняющиеся правилам: (i2 = j2 = k2 = ijk = -1). Такой подход оказался очень полезным в трёхмерной геометрии и физике, особенно в описании вращений.
Октонионы, в свою очередь, представляют собой дальнейшее расширение и иногда называются гиперкомплексными числами. Эти числа утратили свойство ассоциативности, характерное для предыдущих систем чисел, но сохраняли их другие полезные свойства.
Таким образом, каждая последующая числовая система вносит свой вклад в различные области науки и инженерии, предлагая новые способы выражения и решения сложных проблем.
Категория: Математика
Теги: теория чисел, математический анализ, алгебра