Компланарность трёх векторов означает, что они лежат в одной плоскости. Чтобы проверить, компланарны ли векторы $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$, нужно вычислить смешанное произведение этих векторов, которое определяется как:
$$ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) $$
Здесь $\cdot$ обозначает скалярное произведение, а $\times$ — векторное произведение. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны, т.е. они находятся в одной и той же плоскости:
$$ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 0 $$
Пример
Рассмотрим три вектора $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$, $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$ и $\mathbf{c} = (7, 8, 9)$. Вычислим их векторное и скалярное произведения:
Найдите векторное произведение $\mathbf{b} \times \mathbf{c}$:
$$ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = (-3, 6, -3) $$
Вычислите скалярное произведение $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$:
$$ \mathbf{a} \cdot (-3, 6, -3) = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = 0 $$
Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ компланарны.
Компланарность играет важную роль в геометрии и физике, поскольку позволяет анализировать положение векторов в пространстве и решать проблемы ориентации и расположения объектов.
Категория: Геометрия
Теги: векторная алгебра, линейная алгебра, компланарность