В рассматриваемой трапеции ABCD углы (\angle A) и (\angle B) равны 90°, а стороны имеют следующие длины: (AB = 2), (BC = 1), (AD = 4). Для доказательства перпендикулярности диагоналей (AC) и (BD) используем векторный метод.
Построение векторов
Рассмотрим векторное представление точек:
- (\mathbf{A} = (0, 0))
- (\mathbf{B} = (2, 0)) \— так как (AB = 2).
- (\mathbf{D} = (0, 4)) \— с учетом (AD = 4).
- (\mathbf{C} = (2, 1)) \— поскольку (BC = 1).
Векторные выражения диагоналей
Диагонали выражаются как векторы:
- (\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} = (2, 1))
- (\mathbf{BD} = \mathbf{D} - \mathbf{B} = (-2, 4))
Проверка перпендикулярности
Две диагонали перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов (\mathbf{AC}) и (\mathbf{BD}) вычисляется как:
[
\mathbf{AC} \cdot \mathbf{BD} = (2, 1) \cdot (-2, 4) = 2 \times (-2) + 1 \times 4 = -4 + 4 = 0
]
Поскольку скалярное произведение равно нулю, диагонали действительно взаимно перпендикулярны. Таким образом, метод векторного анализа позволяет подтвердить это свойство трапеции ABCD.
Категория: Геометрия
Теги: векторный метод, геометрия, трапеция