Определение неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл функции ( f(x) ) обозначается как ( \int f(x) \, dx ). Это операция, которая является обратной процессу дифференцирования. Это значит, что если ( F(x) ) — первообразная функции ( f(x) ), то производная ( F'(x) = f(x) ). Неопределенный интеграл обычно записывается как совокупность множества первообразных, т.е. ( F(x) + C ), где ( C ) — произвольная константа.
Методы нахождения
Основные правила интегрирования
**Правило степени: **
[ \int xn \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) ]
**Линейность интеграла: **
[ \int [a f(x) + b g(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx ]
**Интеграл суммы и разности: **
Можно интегрировать каждый член отдельно.
Специальные методы
Замена переменной (подстановка):
Этот метод используется, когда интеграл можно упростить заменой переменной. Например:
[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du ]
где ( u = g(x) ).
Интегрирование по частям:
Этот метод основан на формуле:
[ \int u \, dv = uv - \int v \, du ]
Метод применяется, когда функция является произведением двух типов, один из которых проще продифференцировать, а другой — интегрировать.
Примеры
Интегрирование простых функций:
[ \int x2 \, dx = \frac{x3}{3} + C ]
Интегрирование произведений:
[ \int xex \, dx ]
Используя метод интегрирования по частям:
[ u = x, \, dv = ex \, dx ]
[ du = dx, \, v = ex ]
[ \int xex \, dx = xex - \int ex \, dx = xex - ex + C = ex(x - 1) + C ]
Неопределенные интегралы находят широкое применение в решении дифференциальных уравнений, теории вероятностей и многих других разделах математики.
Ключевые слова: интегрирование, неопределенные интегралы, первообразная, методы.
Категория: Математика
Теги: интегралы, анализ, вычислительные методы