Для того чтобы доказать, что две плоскости параллельны друг другу, если они обе перпендикулярны третьей плоскости, рассмотрим следующие моменты:
Рассмотрим три плоскости: ( \alpha ), ( \beta ) и ( \gamma ). Пусть ( \alpha \perp \gamma ) и ( \beta \perp \gamma ). Это значит, что нормальные векторы ( \mathbf{n}{\alpha} ) и ( \mathbf{n}{\beta} ) каждой из этих плоскостей также перпендикулярны любому вектору, который лежит в плоскости ( \gamma ).
Доказательство
Определение взаимной перпендикулярности: Поскольку ( \alpha ) и ( \beta ) перпендикулярны ( \gamma ), то нормальные векторы ( \mathbf{n}{\alpha} ) и ( \mathbf{n}{\beta} ) перпендикулярны одному и тому же множеству векторов, находящихся в ( \gamma ).
Параллельность нормалей: Чтобы ( \alpha ) была параллельна ( \beta ), необходимо и достаточно, чтобы их нормальные векторы ( \mathbf{n}{\alpha} ) и ( \mathbf{n}{\beta} ) были коллинеарны, что записывается как ( \mathbf{n}{\alpha} = k \mathbf{n}{\beta} ).
Вывод: Поскольку оба нормальные вектора перпендикулярны одному и тому же множеству векторов из ( \gamma ), они должны быть параллельны друг другу, откуда следует, что ( \alpha \parallel \beta ).
Таким образом, доказано, что плоскости ( \alpha ) и ( \beta ) параллельны, если они обе перпендикулярны третьей плоскости ( \gamma ).
Ключевые слова: векторное исчисление, параллельные плоскости.
Категория: Геометрия
Теги: векторное исчисление, параллельные плоскости, геометрия