Число, состоящее из 27 единиц, можно записать в виде 111...111 (всего 27 единиц). Рассмотрим, будет ли это число делиться на 27 и 81.
Делимость на 27
Число 111...111 можно представить как ( \frac{10^{27} - 1}{9} ). Чтобы выяснить, делится ли оно на 27, проверим, делится ли числитель на 243 (так как 35 = 243, а 9 умножить на 27 равно 243). Получается, что выражение (10^{27} - 1) делится на 243 тогда, когда число 10^{27} конгруэнтно 1 по модулю 243. Проверим:
[ 10^{27} \equiv (103)9 \equiv 19 \equiv 1 \pmod{243} ]
Здесь использовано малое теорема Ферма: если a — взаимно простое с p, то (a^{p-1} \equiv 1 \mod p). Таким образом, (10^{27} - 1) делится на 243, следовательно число делится на 27.
Делимость на 81
Теперь проверим делимость на 81. Если (10^{27} - 1) делится на 729 (поскольку 9 умножить на 81 равно 729), то и данное число будет делиться на 81. В случае с 729:
[ 10^{27} \equiv (109)3 \equiv 13 \equiv 1 \pmod{729} ]
Таким образом, \(10^{27} - 1\) делится и на 729, что завершает проверку делимости числа 111…111 на любые степени 9. Это подтверждает делимость числа на 81.
Таким образом, число 111…111 (27 раз) делится и на 27, и на 81.
Категория: Математика
Теги: делимость, число, признаки делимости