Локальная компактность — это свойство топологического пространства, которое говорит о том, что каждая точка пространства имеет компактное окружение. Компактное пространство, в свою очередь, является пространством, в котором из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Примером локально-компактного пространства может быть евклидово пространство, где всякое замкнутое и ограниченное подмножество компактно.
Казалось бы, объединяя два локально-компактных пространства, результат должен сохранять локальную компактность, но это не всегда так. Рассмотрим контрпример — множество рациональных чисел ( \mathbb{Q} ). Оно может быть представлено как объединение двух локально-компактных множеств в определённых топологиях, которые сами по себе локально-компактны, но их объединение не является таковым.
Например, рассмотрим прямую ( \mathbb{R} ) с дискретной топологией. Если мы возьмём множество всех рациональных точек на этой прямой и объединение множеств ( A = (-\infty, 0] \cap \mathbb{Q} ) и ( B = [0, \infty) \cap \mathbb{Q} ), каждый из которых локально компактен с точки зрения дискретной топологии, их объединение даст нам все рациональные числа, но данное пространство не будет обладать компактностью как объединение.
Таким образом, пример с рациональными числами показывает, что объединение локально-компактных пространств может не обладать локальной компактностью, если пересечение этих пространств не является локально компактным в той же топологии. Чаще всего в подобных ситуациях помогает топологическое свойство открытости или замкнутости, как указано в упражнениях типа Энгелькинг, упражнение 3.3.C.
В общем случае, вопрос локальной компактности объединения требует предельно аккуратного анализа используемых топологий и характера пересечения объединяемых множества.
Категория: Математика
Теги: топология, локальная компактность, математический анализ