Операции над векторами играют ключевую роль в математике и многих её приложениях, включая физику и инженерию. Основные операции с векторами включают следующее:
Сложение и вычитание векторов:
- Векторное сложение основано на принципе параллелограмма: если два вектора (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) представлены как стороны параллелограмма, то их сумма (\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}) будет диагональю этого параллелограмма.
- Вычитание векторов выполняется по аналогии со сложением: (\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}) означает сложение (\mathbf{a}) и противоположного по направлению вектора (-\mathbf{b}).
Умножение вектора на число:
- Эта операция представляет собой растяжение или сжатие вектора. Если (\mathbf{a}) — вектор, а (k) — скаляр, то результатом будет вектор (k\mathbf{a}), который направлен в ту же сторону, что и (\mathbf{a}), если (k > 0), и в противоположную, если (k < 0).
Скалярное произведение:
- Скалярное (или внутреннее) произведение двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) определяется как (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta), где (\theta) — угол между (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}). Это число (скаляр) широко используется для вычисления работы силы, проекций и других приложений.
Векторное произведение:
- Для трехмерных векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) существует векторное (или внешнее) произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}), которое даёт вектор, перпендикулярный плоскости, образованной (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}). Его направление определяется правилом правой руки, а модуль равен площади параллелограмма, построенного на (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).
Эти операции являются базовыми и находят применение в различных математических, физических и инженерных задачах.
Категория: Математика
Теги: векторная алгебра, операции над векторами, геометрия