Пифагоровы числа, также известные как пифагорейские тройки, представляют собой наборы из трех целых чисел (a, b, c), удовлетворяющих уравнению (a2 + b2 = c2). Эти тройки названы в честь древнегреческого математика Пифагора, который, возможно, первым сформулировал и доказал эту теорему в общих чертах.
Почему они всегда целые?
Простейшая форма. Самыми простыми пифагоровыми тройками являются (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) и так далее. Эти числа все целые и соответствуют диагоналям, сторонам прямоугольных треугольников в единичной системе координат.
Формула для производства троек. Существует формула, выражающая возможность их генерации на базе любого натурального числа (m > n > 0):
[
a = m2 - n2, \
b = 2mn, \
c = m2 + n2
]
Поскольку (m) и (n) натуральные числа, их выражения (a, b, c) обязательно будут целыми.
Число решений. Из натуральных свойств делимости и алгебраической операции видно, что при натуральных значениях (m) и (n), удвоение произведения и сумма квадратов всегда дадут натуральные числа.
Примеры их применения
Пифагоровы числа — это не только теория их вообще использования, но и практическое в прочных математических формах и приложениях в навигации, архитектуре и даже при изготовлении музыкальных инструментов.
Понимание того, почему пифагоровы числа всегда целые, помогает в дальнейших изучениях геометрии, алгебры и других дисциплин, где применяется теорема Пифагора.
Категория: Математика
Теги: числовые последовательности, теорема Пифагора, арифметика