Фазовая траектория линейного гармонического осциллятора
Фазовая траектория линейного гармонического осциллятора представляет собой путь, который система описывает в фазовом пространстве. Линейный гармонический осциллятор моделируется уравнением движения:
$$ m\frac{d2x}{dt2} + kx = 0 $$
где $m$ — масса, $k$ — коэффициент упругости, а $x$ — смещение.
Решением этого уравнения является гармоническая функция:
$$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$
где $A$ — амплитуда, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — угловая частота, $\phi$ — начальная фаза.
Соответствующая скорость $v(t)$ выражается как первая производная координаты по времени:
$$ v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi) $$
Фазовая траектория — это отображение положения и скорости в фазовом пространстве $(x, v)$. В случае гармонического осциллятора траектория представляет собой эллипс, который для недемпфированного осциллятора вырождается в окружность, если ось ординат и абсцисс соответствуют линейно масштабу $m = k$.
Анализ фазовой траектории
Фазовая диаграмма гармонического осциллятора дает представление о характере движения систем. Определение радиуса окружности $R$ в фазовом пространстве $(x,v)$:
$$ R = \sqrt{x2 + \left(\frac{v}{\omega}\right)2} $$
Такие траектории дают визуальное представление об энергии осциллятора: потенциальная энергия максимальна при крайних отклонениях, а кинетическая энергия максимальна при прохождении через центр $x = 0$.
Теги: гармонические колебания, математическая физика, динамические системы.
Категория: Физика
Теги: гармонические колебания, математическая физика, динамические системы