Теорема о скалярном произведении векторов в координатах
Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) ) и ( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) ) в координатах определяется как:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
]
Этот результат можно доказать, используя основные определения векторов и их свойств:
Ортогональные основания. В евклидовой плоскости любой вектор может быть разложен по ортонормированным базисным векторам ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ), где каждый базисный вектор ортогонален другому, и их длины равны единице.
Определение скалярного произведения. Основываясь на этом, скалярное произведение определяется как произведение их модулей и косинуса угла между ними:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta
]
где ( |\mathbf{a}| = \sqrt{a_12 + a_22 + a_32} ) и ( |\mathbf{b}| = \sqrt{b_12 + b_22 + b_32} ) — модули векторов.
Подстановка и трансформация. При подстановке координатных значений для векторов и проведении алгебраических операций, мы переходим от геометрической интерпретации (через длину и угол) к аналитической форме описания, что непосредственно приводит к формуле:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
]
Проверка для нулевого вектора. Если хотя бы один из векторов — нулевой, то его длина равна нулю, а значит, скалярное произведение будет равно нулю, что согласуется с данной формулой.
Таким образом, эта теорема является естественным следствием основных свойств векторов и проверки через базисные преобразования.
Ключевые слова: векторы, скалярное произведение, ортонормированный базис.
Категория: Математика
Теги: геометрия, векторный анализ, линейная алгебра