Фазовая траектория гармонического осциллятора
Фазовая траектория гармонического осциллятора показывает, как изменяется со временем система в фазовом пространстве. Рассмотрим осциллятор, описываемый классическим линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
$$ m\frac{d2x}{dt2} + kx = 0 $$
где $m$ — масса осциллятора, $k$ — коэффициент упругости, $x$ — положение осциллятора во времени.
Фазовая траектория в координатах $x$ (положения) и $v$ (скорости) может быть получена из решений этого уравнения. Рассмотрим его преобразование:
- Выразим скорость: $v = \frac{dx}{dt}$.
- Перепишем уравнение как систему уравнений для координат $x$ и $v$:
$$ \frac{dx}{dt} = v $$
$$ \frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}x $$
Решением этой системы являются уравнения:
$$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$
$$ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) $$
где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — циклическая частота, $\phi$ — начальная фаза.
Таким образом, фазовая траектория — это эллипс в фазовом пространстве, описанный уравнением:
$$ \left(\frac{x}{A}\right)2 + \left(\frac{v}{A \omega}\right)2 = 1 $$
Фазовая траектория показывает, что осциллятор возвращается к своему начальному состоянию через период $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Понимание этой траектории важно для анализа устойчивости систем и поведения колебательных процессов.
Категория: Физика
Теги: механика, дифференциальные уравнения, осциллятор