В прямоугольном треугольнике A, B и C, где C — гипотенуза, длина которой равна 5 см, и периметр всего треугольника равен 12 см, нам нужно найти длины катетов.
Периметр треугольника вычисляется как сумма всех его сторон:
[
P = a + b + c
]
где (a) и (b) — катеты, а (c = 5). Учитывая, что (P = 12), получаем:
[
a + b + 5 = 12
]
Из этого уравнения, выражаем сумму катетов:
[
a + b = 7
]
Далее, используем теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
a2 + b2 = c2
]
Подставляем известное значение гипотенузы:
[
a2 + b2 = 25
]
Теперь для решения системы уравнений:
- (a + b = 7)
- (a2 + b2 = 25)
Для решения можно использовать метод подстановки. Выразим один из катетов через другой из первого уравнения:
[
a = 7 - b
]
Подставим в уравнение Пифагора:
[
(7 - b)2 + b2 = 25
]
Упрощаем уравнение:
[
49 - 14b + b2 + b2 = 25
]
Соберем все члены в одной стороне:
[
2b2 - 14b + 24 = 0
]
Разделим все на 2:
[
b2 - 7b + 12 = 0
]
Решая это квадратное уравнение, найдем:
Быстренько его раскладываем:
[(b-3)(b-4) = 0]
Так что:
[
b = 3\, или\, b = 4
]
Соответственно, (a = 7 - b), даёт:
- Если (b = 3), то (a = 4)
- Если (b = 4), то (a = 3)
Таким образом, длины катетов равны 3 см и 4 см.
Категория: Геометрия
Теги: математика, геометрия, треугольники