Правильная треугольная пирамида — это фигура, у которой основание является правильным треугольником, а остальные грани — равные между собой равнобедренные треугольники. Чтобы найти объем такой пирамиды, нужно воспользоваться данной формулой:
$$ V = \frac{1}{3} S_{осн} h, $$
где $V$ — объем пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.
Возьмем в качестве основания правильный треугольник со стороной $a$. В задаче указано, что боковое ребро пирамиды равно 5 см, а высота $h$ — 3 см. Чтобы найти длину стороны основания $a$, можно воспользоваться свойством равновесия в треугольнике и теоремой Пифагора. Обозначим центр основания через $O$. Тогда для боковой грани $DAO$ имеем:
$$ DA2 = DO2 + OA2. $$
Подставив известные значения ($DA = 5$ см, $DO = 3$ см), получим:
$$ 52 = 32 + OA2 \
25 = 9 + OA2 \
OA2 = 16 \
OA = 4. $$
Теперь сторона треугольника $ABC$ составляет $2 \cdot OA = 8$ см.
Для вычисления площади основания $S_{осн}$ воспользуемся формулой для площади правильного треугольника:
$$ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a2. $$
Подставляя $a = 8$ см, получаем:
$$ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 82 \
= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 \
= 16 \sqrt{3}. $$
Теперь можем вычислить объем пирамиды:
$$ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \sqrt{3} \cdot 3 \
= 16 \sqrt{3} \approx 27.71 \text{ кубических сантиметров}. $$
Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет примерно 27.71 кубических сантиметров.
Категория: Геометрия
Теги: объем пирамиды, треугольная пирамида, формулы геометрии