Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается путем умножения предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.
Формула суммы первых n членов
Если у нас есть первый член прогрессии (a_1) и знаменатель (q), то сумма первых (n) членов геометрической прогрессии (S_n) вычисляется по следующей формуле:
[
S_n = a_1 \frac{qn - 1}{q - 1}, \quad q \neq 1
]
Эта формула проста в использовании и позволяет быстро определить, какой вклад вносит каждый член в общую сумму последовательности. В случае, если (q = 1), последовательность является арифметической, и сумма (S_n) равна просто произведению первого члена (a_1) и количества членов (n):
[
S_n = a_1 \cdot n
]
Пример применения
Рассмотрим геометрическую прогрессию с (a_1 = 3) и (q = 2). Если мы хотим найти сумму первых 5 членов, подставим данные в формулу:
[
S_5 = 3 \frac{25 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (32 - 1) = 3 \cdot 31 = 93
]
Таким образом, сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 93.
Применение в жизни
Знание формулы и понимание этих понятий может быть полезно как в школьной программе, так и в реальном мире — например, при расчете сложных процентов в финансовой сфере или при анализе роста популяции в биологических исследованиях.
Категория: Математика
Теги: алгебра, последовательности, учебная математика