Определённый интеграл, как один из центральных понятий математического анализа, имеет интересный и наглядный геометрический смысл. Он позволяет измерять площадь под кривой, заданной на определённом интервале.
Геометрическая интерпретация
Одним из самых распространённых примеров является интеграл функции (f(x)) на интервале ([a, b]). Геометрически это можно представить как площадь под графиком функции от точки (a) до точки (b) по оси абсцисс.
Подразделение на прямоугольники
Для вычисления интеграла часто используется метод разбиения: область под кривой делят на прямоугольники, сумма площадей которых приближает площадь под кривой. На практике используется предел такой суммы при стремлении ширины прямоугольников к нулю. Это называется интегралом Римана.
Формула и расчет
Если функция (f(x)) непрерывна на ([a, b]), её определённый интеграл записывается как:
[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
]
где (F) — первообразная функции (f(x)), определяемая с использованием формулы Ньютона-Лейбница.
Применение в физике
Кроме математической ценности, интеграл регулярно используется в физике, например, для вычисления работы силы, если мощность или величина силы меняются со временем.
Ключевые слова: геометрический смысл, интегралы, площадь под кривой.
Категория: Математика
Теги: математический анализ, геометрия, интегралы