Расчёт вероятности попадания в цель несколько раз
В задачах на теорию вероятностей, связанных с выстрелами и попаданием в цель, часто требуется определить вероятность того, что стрелок попадет в мишень несколько раз. Предположим, что вероятность попадания стрелка в мишень за один выстрел равна ( p ), а вероятность промаха — ( 1 - p ). Если стрелок делает ( n ) выстрелов, и мы хотим найти вероятность того, что он попадет ровно ( k ) раз, то эту вероятность можно рассчитать с помощью биномиального распределения.
Биномиальное распределение
Вероятность того, что из ( n ) независимых выстрелов ровно ( k ) будут успешными (попадание), определяется формулой:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} pk (1-p)^{n-k}
]
где ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
]
Пример
Допустим, вероятность попасть в цель равна ( p = 0.6 ), стрелок делает ( n = 5 ) выстрелов, и нам нужно найти вероятность того, что он попадет в цель ровно три раза.
Вычисляем биномиальный коэффициент:
[
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10
]
Подставляем значения в формулу биномиального распределения:
[
P(X = 3) = 10 \times 0.63 \times 0.42 = 10 \times 0.216 \times 0.16 = 0.3456
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в цель ровно три раза, составляет 34.56%.
Теги: вероятность, биномиальное распределение, расчёт вероятности, выстрелы.
Категория: Математика
Теги: вероятность, теория вероятностей, стрельба