Для решения задачи найдем все целые положительные числа a и b, где b представляется в виде натуральной степени числа a, и одновременно выполняется условие:
[ b = 16a ].
Это означает, что должно быть возможно выразить b как ( an ) для некоторого натурального n. Итак, с учетом уравнения ( an = 16a ) мы имеем:
[ a^{n-1} = 16 ].
Теперь необходимо найти такие значения a и n, что это равенство будет выполняться.
Рассмотрим возможные значения a:
- Если a = 1, то ( 1^{n-1} = 16 ). Это невозможно, так как для любого n результат ( 1^{n-1} ) будет равен 1.
- Если a = 2, то ( 2^{n-1} = 16 ). Решая это уравнение, найдем что ( n - 1 = 4 ), то есть ( n = 5 ), так как ( 24 = 16 ).
Таким образом, при a = 2 и n = 5, b равно ( 16 \cdot 2 = 32 ), и одновременно ( b = 25 = 32 ). Это решение соответствует всем условиям задачи.
Пройдя аналогичный анализ для других целых положительных a (самые простые кандидаты после 2 — это 3 и далее), не найти дополнительных решений, кроме полученных выше.
Таким образом, единственными целыми положительными числами a и b, удовлетворяющими условию, являются a = 2 и b = 32.
Категория: Чистая математика
Теги: индексные числа, уравнения, алгебраические задачи