Решение задачи на нахождение значения тригонометрической функции
Чтобы найти значение ( 6\cos\left(\frac{a}{2}\right) ) при условии ( \cos a = \frac{7}{18} ) и диапазоне угла ( \frac{3\pi}{2} < a < \frac{\pi}{2} ), необходимо использовать тригонометрическое преобразование.
Шаг 1: Определение синуса
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
[
\sin2 a + \cos2 a = 1
]
Найдем ( \sin a ):
[
\sin2 a = 1 - \left(\frac{7}{18}\right)2
]
[
\sin2 a = 1 - \frac{49}{324}
]
[
\sin2 a = \frac{275}{324}
]
[
\sin a = \pm\sqrt{\frac{275}{324}} = \pm\frac{\sqrt{275}}{18}
]
Поскольку ( a ) находится в третьей или четвёртой четверти, ( \sin a ) должен быть отрицательным. Следовательно, ( \sin a = -\frac{\sqrt{275}}{18} ).
Шаг 2: Вычисление ( \cos(\frac{a}{2}) )
Используем формулу половинного аргумента:
[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos a}{2}}
]
Так как ( a ) в четвёртой четверти, ( \frac{a}{2} ) находится в третьей, поэтому ( \cos\left(\frac{a}{2}\right) ) отрицателен. Найдем значение:
[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -\sqrt{\frac{1 + \frac{7}{18}}{2}}
]
[
\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -\sqrt{\frac{25}{36}} = -\frac{5}{6}
]
Шаг 3: Вычисление ( 6\cos(\frac{a}{2}) )
Теперь находим значение целого выражения:
[
6\cos\left(\frac{a}{2}\right) = 6 \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -5
]
Таким образом, ( 6\cos\left(\frac{a}{2}\right) = -5 ).
Категория: Математика
Теги: тригонометрия, угловые функции, преобразования